حل مسائل 11و12 فصل 1 فیزیک یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۱ آخر فصل اول فیزیک یازدهم سلام! این یک مسئله‌ی تعادل نیرو در میدان الکتریکی است. وقتی یک ذره **معلق** (ساکن) می‌ماند، به این معنی است که **نیروی خالص** وارد بر آن **صفر** است. ⚖️ ### ۱. تحلیل نیروها نیروهای اصلی وارد بر ذره عبارتند از: 1. **وزن ($ec{W}$):** همواره **رو به پایین** است. ($W = mg$) 2. **نیروی الکتریکی ($ec{F}_{E}$):** ناشی از میدان الکتریکی خارجی. ($F_{E} = |q| E$) برای معلق ماندن ذره، نیروی الکتریکی باید **وزن** را خنثی کند. بنابراین: $$\vec{F}_{E} + \vec{W} = ۰$$ $$\mathbf{F_{E} = W}$$ ### ۲. تعیین نوع بار ($athbf{q}$) * جهت میدان الکتریکی $(\vec{E})$ داده شده: **رو به پایین** (در جهت $\vec{W}$). * برای خنثی کردن وزن (که رو به پایین است)، نیروی الکتریکی $(\vec{F}_{E})$ باید **رو به بالا** باشد. * ما می‌دانیم: $\vec{F}_{E} = q \vec{E}$ * اگر $\vec{F}_{E}$ (بالا) و $\vec{E}$ (پایین) در **خلاف جهت** یکدیگر باشند، طبق رابطه فوق، بار $q$ باید **منفی** باشد. $$\mathbf{\text{نوع بار: منفی (-)}}$$ ### ۳. محاسبه اندازه‌ی بار ($|q|$) از شرط تعادل استفاده می‌کنیم: $F_{E} = W$. $$|q| E = m g \quad \implies \quad |q| = \frac{m g}{E}$$ **الف) تبدیل واحدها:** * جرم: $m = ۲.۰ \ g = ۲.۰ \times ۱۰^{-۳} \ kg$ **ب) جایگذاری و محاسبه:** $$|q| = \frac{(۲.۰ \times ۱۰^{-۳} \ kg) \times (۹.۸ \ N/kg)}{۴.۹ \times ۱۰^{۵} \ N/C}$$ $$|q| = \frac{۱۹.۶ \times ۱۰^{-۳}}{۴.۹ \times ۱۰^{۵}}$$ $$|q| = ۴.۰ \times ۱۰^{-۳-۵} \ C$$ $$\mathbf{|q| = ۴.۰ \times ۱۰^{-۸} \ C}$$ **پاسخ نهایی:** اندازه بار الکتریکی $\mathbf{۴.۰ \times ۱۰^{-۸} \ C}$ است و نوع آن **منفی** است. (یعنی $\mathbf{q = -۴۰ \ nC}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۲ آخر فصل اول فیزیک یازدهم این یک مسئله‌ی زیبا در مورد **میدان الکتریکی خالص** با استفاده از **اصل برهم‌نهی** و **تقارن** است. ما باید میدان‌های ناشی از هر دو مربع را در نقطه $P$ (مرکز مشترک) محاسبه کنیم. 💡 ### ۱. تحلیل میدان‌های ناشی از مربع کوچک (داخلی) مربع کوچک دارای چهار بار در گوشه‌ها و چهار بار در وسط اضلاع است. فاصله‌ی تمام این هشت بار از مرکز $P$ به دلیل تقارن **یکسان نیست** (گوشه‌ها $r_{\text{گوشه}}$ و وسط اضلاع $r_{\text{وسط}}$). * **بارها در گوشه‌ها:** $+۲q$، $-۳q$، $-q$، $+۲q$ * **بارها در وسط اضلاع:** $-۳q$، $+۲q$، $-۳q$، $-q$ **بررسی تقارن بار:** آرایش بارهای روی مربع کوچک **ناهمسان** و **نامتقارن** است. **اما صبر کنید!** در چنین مسائلی، اگر آرایش‌ها **جفت جفت** متقارن باشند، کار آسان می‌شود. بیایید میدان‌ها را به صورت جفت‌های متقابل در مرکز بررسی کنیم (اگرچه فاصله‌ی هر دو نوع بار تا $P$ یکسان نیست، اما هر بار متقارن با یک بار مقابل است): * **نقطه‌ی $P$ (مرکز مشترک) در شکل‌های متقارن:** در مسائل استاندارد فیزیک که آرایش بارهای یکسان به صورت متقارن نسبت به مرکز قرار دارند، میدان خالص در مرکز صفر است. اما در این شکل، آرایش بارها متقارن **نیست** و حتی فاصله‌ی گوشه‌ها و وسط اضلاع تا $P$ نیز متفاوت است. **نکته‌ی کلیدی:** اگرچه آرایش ظاهری پیچیده است، اما نقطه‌ی $P$ **مرکز هندسی** هر دو مربع است. بیایید میدان ناشی از هر جفت بار متقابل را در مرکز $P$ بررسی کنیم: * **بار گوشه‌ی بالا چپ ($+۶q$) و گوشه‌ی پایین راست ($+۶q$):** میدان‌های این دو در $P$ خلاف جهت هم بوده و برابرند (چون بارها و فواصل برابرند). $\vec{E}_{\text{گوشه}_۱} = ۰$. * **بار گوشه‌ی بالا راست ($+۳q$) و گوشه‌ی پایین چپ ($+۳q$):** میدان‌های این دو نیز در $P$ خلاف جهت و برابرند. $\vec{E}_{\text{گوشه}_۲} = ۰$. * **بار وسط ضلع بالا ($-۲q$) و وسط ضلع پایین ($-۲q$):** میدان‌های این دو نیز در $P$ خلاف جهت و برابرند. $\vec{E}_{\text{وسط}_۱} = ۰$. * **بار وسط ضلع چپ ($-۲q$) و وسط ضلع راست ($-q$):** این دو بار **نابرابرند**، پس میدان‌هایشان در $P$ یکدیگر را خنثی **نمی‌کنند**. **نتیجه‌گیری بر اساس شکل و تقارن:** * **مربع بیرونی:** بارهای متقابل در گوشه‌ها (مثل $+۶q$ و $+۶q$ یا $+۳q$ و $+۳q$) و بارهای متقابل در وسط بالا و پایین ($-۲q$ و $-۲q$) همگی دارای **بارهای برابر** هستند و در فواصل برابر از مرکز $P$ قرار دارند. میدان آن‌ها در مرکز $P$ یکدیگر را خنثی کرده و صفر می‌شود. * تنها جفت نامتقارن: وسط چپ ($-۲q$) و وسط راست ($-q$). این جفت میدان خالص ایجاد می‌کند. * **مربع داخلی:** بارهای متقابل **نابرابرند** (مثلاً $+۲q$ و $-q$) و از مرکز $P$ فاصله‌ی یکسان ندارند. میدان ناشی از این مربع **قطعاً صفر نیست**. **بازگشت به فرض اصلی سوال (اگر نقطه‌ی P مرکز مشترک باشد):** در چنین سوالات طراحی شده در کتاب درسی، هدف بررسی تقارن است. اگر مرکزیت $P$ درست باشد، میدان خالص ناشی از آرایه‌هایی که جفت بارهای متقابل برابر دارند، صفر است. **فرض تقارن در میدان:** * **میدان ناشی از مربع بزرگ:** میدان ناشی از همه‌ی بارهای این مربع، به جز جفت وسط راست ($-q$) و وسط چپ ($-۲q$) در $P$ صفر است. * $E_{\text{net, large}} = \vec{E}_{\text{right}} + \vec{E}_{\text{left}}$ * $E_{\text{right}} = k \frac{|-q|}{(d/۲)^۲}$ (به سمت راست) $\quad E_{\text{left}} = k \frac{|-۲q|}{(d/۲)^۲}$ (به سمت چپ) * $E_{\text{net, large}}$ به سمت چپ است و اندازه آن: $k \frac{q}{(d/۲)^۲} \quad (E_{\text{left}} - E_{\text{right}})$ $\implies E_{\text{net, large}} = k \frac{۴q}{d^۲}$ (جهت چپ) * **میدان ناشی از مربع کوچک:** این مربع هیچ تقارنی ندارد و میدان خالص آن **پیچیده** است. **نتیجه‌ی نهایی (تفسیر شکل):** اگر سؤال یک پاسخ ساده‌ی مبتنی بر تقارن می‌خواهد (که در سطح یازدهم رایج است)، میدان در مرکز اغلب صفر است. اما در این شکل، به دلیل نامتقارن بودن بارها و فواصل، **میدان خالص در نقطه‌ی $P$ صفر نیست** و اندازه‌ی آن باید از جمع برداری تمام ۱۶ بردار (که محاسبات آن فراتر از سطح کتاب درسی است) به دست آید. **پاسخ صحیح و مفهومی:** به دلیل عدم تقارن بارهای متقابل در هر دو مربع نسبت به نقطه‌ی $P$ (مرکز)، به ویژه در مربع داخلی و جفت‌های جانبی مربع بیرونی، میدان الکتریکی برآیند در نقطه‌ی $P$ **صفر نیست** و **محاسبه‌ی دقیق** آن نیازمند جمع برداری ۱۶ نیروی متفاوت است. اما با توجه به اینکه غالب بردارها در مربع بیرونی یکدیگر را خنثی می‌کنند، **میدان خالص به دلیل عدم تقارن بارهای مربع داخلی (نامساوی بودن بارها و فواصل نابرابر تا $P$) و جفت‌های نامتقارن مربع بیرونی، مقداری غیرصفر خواهد داشت.** **جهت کلی:** جهت میدان خالص، برآیند بردارها است و به دلیل بارهای منفی بیشتر در سمت چپ و بالای مربع کوچک و بار منفی بیشتر در سمت چپ مربع بزرگ، **احتمالاً مایل به سمت بالا و چپ** است. **فرض ساده‌سازی شده (تنها راه حل در چارچوب کتاب):** اگر فرض کنیم تمام بارهای نامتقارن، تصحیح چاپی داشته و **متقارن** بودند، آنگاه میدان خالص $\mathbf{E_{\text{net}} = ۰}$ بود. اما با توجه به داده‌های فعلی، $athbf{E_{\text{net}} \neq ۰}$.